SABR Hagan近似のβを推計対象としたキャリブレーション精度向上策／Improving Calibration
Accuracy by Estimating the β in the SABR Hagan Approximation

　一般にSABRのパラメータβは固定値が使用されているが、βも推計対象とすることにより、描くボラティリティカーブの自由度を上げることができる。これによりキャリブレーションの精度が上がることを確認する。パラメータα、β、ρ、νについては下式(1)、(2)、(3)をご参照。

Generally, the SABR parameter β is used as a fixed value, but by making β an estimated
parameter, the flexibility of the volatility curve can be increased. We confirm that calibration
accuracy improves when β is estimated. For parameters(α, β, ρ, and ν), refer to Equations
(1), (2), and (3) below.

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1. 実施方法／Research methoid
　ここでは通貨オプションを対象に調査した数例を紹介する。
実際の市場ボラティリティデータに対し、SABRモデルのβ値を固定値と推計値とでキャリブレーションを実施し、各βの市場データへの適合具合の比較を行う。

Here we present several examples from our research conducted on FX options.
Calibration of the SABR model’s β values was performed using actual market volatility data,
comparing fixed values with estimated values to assess how well each β fits the market data.

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1.1調査対象データ／Research data
　

Table 1 調査対象データ／Research data

Currency pair	Date	Tenor	Volatility
EURUSD GBPUSD	2020-Mar-17 2020-Mar-23 2024-Aug-05	2Y 10Y	10-delta Put 25-delta Put ATM 25-delta Call 10-delta Call

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1.2 使用したβ値の種類／All perterns of β values used in this experiment
　

Table 2 β values

β value	備考／Remarks
固定値／Ffixed values	以下5種の固定値を使用。 The following five types are used as fixed values  0.1  0.3  0.5  0.7  0.9
推計値／Estimation	Currency pair, Tenor, Date毎に0≤β≤0.99　の範囲でα, ρ, νと同時にキャリブレーションを実行することにより推計。 Every β is estimated by simultaneously calibrating α, ρ, and ν within the range 0 ≤ β ≤ 0.99 for each currency pair, tenor, and date.

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1.3 キャリブレーション／Calibration
　市場ボラティリティ10-delta Put, 25-delt Put, ATM, 25-delta Call, 10-delta Callの5点に対し、最小二乗法を適用してボラティリティカーブが適合するようキャリブレーションを実行する。各βの平均二乗誤差(MSE)で適合具合を比較する。数式は下記（4）。

Calibration is performed by applying least squares to fit the volatility curve to five points:
10-delta Put, 25-delta Put, ATM, 25-delta Call, and 10-delta Call. The comparison of fit is
performed using the mean squared error(MSE) for each β value. The formula is (4) below.


　・使用プログラム言語／Programming language:　Python
　・使用ライブラリ／Library:　least_squares() in Scipy.Optimize
　・MSEの計算式は以下／The MSE calculation formula is as follows.

　なお、最小二乗法実行時の各パラメータ初期値はDeep Neural Networkで事前に求めておくと収束の計算高速化が可能。関連情報リンク参照。

Furthermore, pre-computing initial values for each parameter using a Deep Neural
Network before executing the least squares method enables faster convergence
calculations. See related information links.

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2.　調査結果／Research result
　MSEの値を「2.1 結果-MSE／Result – MSE」に、推定パラメータとそのパラメータによるボラティリティカーブのチャートを「2.2 結果 – キャリブレーション／Result – Calibration」に掲載。
なお、グラフの横軸には行使価格をフォワード価格で除したマネネス値を使用。

The MSE value is shown in "2.1 Result – MSE". The estimated parameters and the
volatility curve chart based on those parameters are shown in "2.2 Result – Calibration".
Note that the horizontal axis of the graphs use the moneyness, which is the strike price divided by the forward price.

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2.1　結果-MSE／Result – MSE
　Table 3に最小二乗法によるキャリブレーションの平均二乗値を表示。全てβを推計したものが最良の適合となっている。当該日付をクリックするとキャリブレーション結果の図表へジャンプします。

　Table 3 displays the mean squared error from least squares calibration. This shows the
estimation β method provide the best fit. Clicking the date will take you to the calibration
results chart.

Table 3 Mean squared error(MSE)

Date	β
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9	estimated β (MSE in lower tier)
EURUSD – 2Y
2020Mar17	2.65E-07	1.49E-07	9.84E-08	1.13E-07	1.91E-07	β = 0.56407
						3.51E-08
2020Mar23	2.03E-06	1.35E-06	8.11E-07	4.22E-07	1.78E-07	β = 0.99
						3.00E-08
2024Aug05	7.14E-08	5.73E-08	4.62E-08	3.82E-08	3.33E-08	β = 0.87341
						5.76E-09
EURUSD – 10Y
2024Mar17	4.56E-06	2.40E-06	9.53E-07	1.78E-07	1.79E-08	β = 0.85522
						4.26E-09
2020Mar23	5.21E-06	8.29E-07	2.22E-07	5.99E-09	1.38E-07	β = 0.71973
						4.30E-09
2024Aug05	3.64E-07	2.30E-07	1.30E-07	6.26E-08	2.78E-08	β = 0.99
						2.26E-08
GBPUSD – 2Y
2020Mar17	8.60E-07	6.39E-07	4.50E-07	2.93E-07	1.70E-07	β = 0.99
						5.07E-08
2020Mar23	3.17E-06	2.24E-06	1.46E-06	8.54E-07	4.11E-07	β = 0.99
						1.57E-07
2024Aug05	1.04E-07	7.52E-08	5.08E-08	3.11E-08	1.61E-08	β = 0.99
						3.99E-09
GBPUSD – 10Y
2024Mar17	8.11E-06	4.87E-06	2.52E-06	1.04E-06	3.75E-07	β = 0.988
						3.12E-07
2020Mar23	2.14E-06	1.36E-06	7.56E-07	3.35E-07	8.94E-08	β = 0.99
						3.36E-08
2024Aug05	8.31E-07	5.46E-07	3.19E-07	1.51E-07	4.61E-08	β = 0.99
						1.90E-08

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2.2.　結果 – キャリブレーション／Result – Calibration
　各日付、通貨、テナー毎にキャリブレーションで得たα、ρ、νの値とそのボラティリティカーブを図表で表示する。

Here, we display the α, ρ, and ν values obtained through calibration for each date, currency,
and tenor, along with their volatility curves, in charts.

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2.2.1 通貨ペアEURUSD／Currency pair EURUSD
2.2.1.1 通貨ペアEURUSD、日付2020年3月17日、期間2年の結果／Result for currency
pair EURUSD, date 2020-Mar-17 and tenor 2Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 4、ボラティリティカーブはFigure 1に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 4,
and the volatility curve is shown in Figure 1.

Table 4 パラメータの推計値／Estimated Parameter Value, EURUSD 2020-Mar-17 – 2Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.0886174	0.0886088	0.0886438	0.0887223	0.0888439	0.0872790
ρ	0.1587550	0.1238850	0.0884456	0.0525815	0.0164465	0.0878156
ν	0.7151432	0.7094657	0.7048439	0.7012876	0.6988061	0.7980260
β	－	－	－	－	－	0.5640783
MSE	2.65E-07	1.49E-07	9.84E-08	1.13E-07	1.91E-07	3.51E-08

Figure 1 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, EURUSD 2020Mar17 – 2Y

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2.2.1.2 通貨ペアEURUSD、日付2020年3月23日、期間2年の結果／Result for currency pair
EURUSD, date 2020-Mar-17 and tenor 2Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 5、ボラティリティカーブはFigure 2に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 5, and the volatility curve is shown in Figure 2.

Table 5 パラメータの推計値／Estimated Parameter Value, EURUSD 2020-Mar-23 – 2Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.1046996	0.104856	0.105090	0.105402	0.105793	0.105769
ρ	-0.049419	-0.09184	-0.13376	-0.17492	-0.21508	-0.27616
ν	0.7274384	0.730269	0.734629	0.740521	0.747948	0.894293
β	－	－	－	－	－	0.99
MSE	2.03E-06	1.34E-06	8.11E-07	4.22E-07	1.78E-07	3.00E-08

Figure 2 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, EURUSD 2020Mar23 – 2Y

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2.2.1.3 通貨ペアEURUSD、日付2024年8月5日、期間2年の結果／Result for currency pair
EURUSD, date 2024-Aug-5 and tenor 2Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 6、ボラティリティカーブはFigure 3に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 6, and
the volatility curve is shown in Figure 3
　

Table 6 パラメータ推計値／Estimated Parameter Value, EURUSD 2024-Aug-05 – 2Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.066993	0.067035	0.067092	0.067166	0.067255	0.067164
ρ	-0.137280	-0.169156	-0.200339	-0.230760	-0.260361	-0.280344
ν	0.476047	0.480275	0.485019	0.490271	0.496022	0.522052
β	－	－	－	－	－	0.873410
MSE	7.14E-08	5.73E-08	4.62E-08	3.82E-08	3.33E-08	5.76E-09

Figure 3 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, EURUSD 2024Aug05 – 2Y

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2.2.1.4 通貨ペアEURUSD、日付2020年3月17日、期間10年の結果／Result for currency pair
EURUSD, date 2020-Mar-17 and tenor 10Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 7、ボラティリティカーブはFigure 4に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 7,
and the volatility curve is shown in Figure 4.

Table 7 　パラメータ推計値値／Estimated Parameter Value, EURUSD 2020-Mar-17 – 10Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.0955967	0.097755	0.0980250	0.0985734	0.0994000	0.0986426
ρ	0.25	0.2254456	0.1403201	0.0510548	-0.040192	0.0420985
ν	0.3285460	0.306530	0.298169	0.2925422	0.2897665	0.2921396
β	－	－	－	－	－	0.719739
MSE	5.21E-06	8.29E-07	2.22E-07	5.99E-09	1.38E-07	4.30E-09

Figure 4 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, EURUSD 2020 Mar17 – 10Y

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2.2.1.5 通貨ペアEURUSD、日付2020年3月23日、期間10年の結果／Result for currency pair
EURUSD, date 2020-Mar-23 and tenor 10Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 8、ボラティリティカーブはFigure 5に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 8,
and the volatility curve is shown in Figure 5.

Table 8 パラメータ推計値／Estimated Parameter Value, EURGBP 2020Mar23 – 10Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.1116597	0.1118868	0.1125537	0.1136665	0.1152402	0.1148467
ρ	0.2094328	0.1109741	0.0083961	-0.095003	-0.195579	-0.173495
ν	0.3133973	0.3058507	0.3018558	0.301556	0.3050857	0.3039567
β	－	－	－	－	－	0.8552229
MSE	4.56E-06	2.40E-06	9.53E-07	1.77E-07	1.78E-08	4.25-09

Figure 5 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, 10Y

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2.2.1.6 通貨ペアEURUSD、日付2024年8月05日、期間10年の結果／Result for currency pair
EURUSD, date 2024-Aug-05 and tenor 10Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 9、ボラティリティカーブはFigure 6に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 9,
and the volatility curve is shown in Figure 6.

Table 9 パラメータ推計値／Estimated Parameter Value, EURUSD 2024Aug05 -10Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.0793812	0.079405	0.079560	0.079849	0.080274	0.080511
ρ	0.1415334	0.055501	-0.03110	-0.11638	-0.19857	-0.23412
ν	0.2209444	0.219789	0.220354	0.222641	0.226634	0.228978
β	－	－	－	－	－	0.99
MSE	3.63E-07	2.30E-07	1.30E-07	6.25E-08	2.77E-08	2.26E-08

Figure 6 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, EURUSD 2024Aug05 – 10Y

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2.2.2 通貨ペア GBPUSD／Currency pair GBPUSD
2.2.2.1 通貨ペアGBPUSD、日付2020年3月17日、期間2年の結果／Result for currency pair
GBPUSD, date 2020-Mar-17 and tenor 2Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 10、ボラティリティカーブはFigure 7に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 10,
and the volatility curve is shown in Figure 7.

Table 10 パラメータ推計値／Estimated Parameter Value, GBPUSD 2020Mar17 -2Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.1063731	0.1064759	0.1066457	0.1068839	0.1071921	0.1076086
ρ	-0.073635	-0.122015	-0.169240	-0.215038	-0.259176	-0.303706
ν	0.5340614	0.5390441	0.5453560	0.5529789	0.5618921	0.6136805
β	－	－	－	－	－	0.99
MSE	8.60E-07	6.39E-07	4.50E-07	2.93E-07	1.69E-07	5.06E-08

Figure 7 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, GBPUSD 2020Mar17 – 2Y

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2.2.2.2 通貨ペアGBPUSD、日付2020年3月23日、期間2年の結果／Result for currency pair
GBPUSD, date 2020-Mar-23 and tenor 2Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 11、ボラティリティカーブはFigure 8に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 11,
and the volatility curve is shown in Figure 8.

Table 11 パラメータ推計値／Estimated Parameter Value, GBPUSD 2020Mar23 – 2Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.129887	0.130126	0.130502	0.131018	0.131680	0.133477
ρ	-0.082347	-0.136886	-0.189964	-0.241165	-0.290131	-0.353501
ν	0.630318	0.636680	0.645118	0.655619	0.668171	0.763027
β	－	－	－	－	－	0.99
MSE	3.17E-06	2.23E-06	1.46E-06	8.54-07	4.11E-07	1.56E-07

Figure 8 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, GBPUSD 2020Mar23 – 2Y

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2.2.2.3 通貨ペアGBPUSD、日付2024年8月05日、期間2年の結果／Result for currency pair
GBPUSD, date 2024-Aug-05 and tenor 2Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 12、ボラティリティカーブはFigure 9に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 12,
and the volatility curve is shown in Figure 9.

Table 12 パラメータ推計値／Estimated Parameter Value, GBPUSD 2024Aug05 – 2Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.077863	0.077919	0.078000	0.078105	0.078236	0.078385
ρ	-0.133195	-0.171142	-0.208075	-0.243885	-0.278485	-0.314048
ν	0.459940	0.464962	0.470682	0.477085	0.484157	0.516257
β	－	－	－	－	－	0.99
MSE	1.04E-07	7.52E-08	5.08E-08	3.11E-08	1.61E-08	3.99E-09

Figure 9 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, GBPUSD 2020Mar23 – 2Y

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2.2.2.4 通貨ペアGBPUSD、日付2020年3月17日、期間10年の結果／Result for currency pair
GBPUSD, date 2020-Mar-17 and tenor 10Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 13、ボラティリティカーブはFigure 10に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 13
and the volatility curve is shown in Figure 10.

Table 13 パラメータ推計値／Estimated Parameter Value, GBPUSD 2020Mar17 – 10Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.1161850	0.1161927	0.1166234	0.1174878	0.1188111	0.1195668
ρ	0.2444597	0.1233841	-0.001775	-0.125492	-0.242384	-0.291560
ν	0.2312569	0.226898	0.226167	0.229133	0.235784	0.2399601
β	－	－	－	－	－	0.99
MSE	2.14E-06	1.35E-06	7.56E-07	3.35E-07	8.93E-08	3.36E-08

Figure 10 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, GBPUSD 2020Mar17 – 10Y

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2.2.2.5 通貨ペアGBPUSD、日付2020年3月23日、期間10年の結果／Result for currency pair
GBPUSD, date 2020-Mar-23 and tenor 10Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 14、ボラティリティカーブはFigure 11に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 14,
and the volatility curve is shown in Figure 11.

Table 14 パラメータ推計値／Estimated Parameter Value, GBPUSD 2020Mar23 – 10Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.1336118	0.1339935	0.1351209	0.137028	0.1397827	0.1412793
ρ	0.1906938	0.0644595	-0.0646379	-0.190341	-0.3066331	-0.353266
ν	0.2852673	0.2801124	0.2798579	0.2846818	0.2947225	0.3007906
β	－	－	－	－	－	0.99
MSE	8.10E-06	4.87E-06	2.52E-06	1.04E-06	3.74E-07	3.11E-07

Figure 11 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, GBPUSD 2020Mar23 – 10Y

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2.2.2.6 通貨ペアGBPUSD、日付2024年8月5日、期間10年の結果／Result for currency pair
GBPUSD, date 2024-Aug-5 and tenor 10Y
　各パラメータ値とMSE(再掲)はTable 15、ボラティリティカーブはFigure 12に掲示。

The MSE (repeated) and corresponding parameter values are shown in Table 15,
and the volatility curve is shown in Figure 12.

Table 15 パラメータ推計値／Estimated Parameter Value, GBPUSD 2024Aug05 – 10Y

	β
	固定値 Fixed Value					推計値 Estimated value
	0.1	0.3	0.5	0.7	0.9
α	0.099140	0.099238	0.099593	0.100217	0.101127	0.101636
ρ	0.112171	-0.004466	-0.118152	-0.225147	-0.322717	-0.363089
ν	0.201548	0.202943	0.207012	0.213684	0.222847	0.227751
β	－	－	－	－	－	0.99
MSE	8.31E-07	5.46E-07	3.19E-07	1.51E-07	4.61E-08	1.90E-08

Figure 12 各βでのボラティリティカーブ／Volatility Curves for βs, GBPUSD 2024Aug – 10